Show code cell source Hide code cell source

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Enakomerno časovno vzorčenje in frekvenčno prekrivanje

Pri procesiranju merjenih podatkov imamo opravka z diskretno vzorčenimi signali. Pomembno se je zavedati lastnosti procesa diskretizacije sicer zveznih časovnih signalov, katerega osnove si bomo pogledali na tej vaji.

Naloga

Domača naloga

Z uporabo generatorja signalov in zajemnega sistema Arduino pripravite signal(e), s katerim boste demonstrirali v podatkih določeno lastnost diskretizacije signalov. Pri generiranju in zajemu signalov uporabite v podatkih predpisane parametre, manjkajoče parametre pa določite v skladu s predpisano lastnostjo diskretizacije.

Dodatek: Signal(e) pripravite tako, da boste lahko prikazali tudi drugo od obravnavanih lastnosti diskretizacije (časovno vzorčenje oz. kvantizacija). Tudi to na kratko komentirajte.

LabView program za zajem signalov lahko prenesete v obliki zip arhiva.

Da bo delo na generatorju signalov potekalo čimbolj učinkovito, lahko izbrane parametre signala in zajema najprej preizkusite z numerično simulacijo. Pomagajte si s primeri v tej predlogi in modulom scipy.signal.

Pripravite kratko poročilo v okolju Jupyter Notebook (od 3 do 10 celic s kodo), v katerem naj bodo razvidni podatki naloge ter prikazan vpliv določene lastnosti diskretizacije s kratkimi komentarji, podprtimi s teoretičnimi izhodišči.

Poročilo oddajte v .pdf obliki (glejte navodila za oddajo domačih nalog).

---

Diskretizacija signalov

Diskretizacija je postopek, pri katerem v času zvezno spremenljivko pretvorimo v diskretne vrednosti, primerne za predstavitev v računalniškem pomnilniku. Sestavljata jo dva ločena procesa, vzorčenje in kvantizacija.

Enakomerno časovno vzorčenje

Vzorčenje je postopek diskretizacije neodvisne spremenljivke (časa) zveznega procesa.

Glavni parameter časovnega vzorčenja je interval (perioda) vzorčenja, \(\Delta t\), ki definira frekvenco vzorčenja, \(f_s = 1 / \Delta t\).

Zvezni časovni signal tako vzorčimo pri diskretnih vrednostih časa \(n \, \Delta t\).

Note

Spomnimo se: Fourierova transformacija signala \(x(t)\), vzorčenega s periodo \(\Delta t\) je definirana kot vsota:

\[ X_s(f)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\,x(n\,\Delta t)\,e^{-\textrm{i}\,2\pi\,f\,n\,\Delta t} \]

in je v frekvenčni domeni periodična s frekvenco \(f_s\):

\[ X_s(f)=X_s(f+r \, f_s), \qquad \textrm{kjer je:}\quad r\in \mathbb{Z}. \]

Frekvenčno prekrivanje (aliasing)

Posledica periodičnosti Fourierove transformacije diskretnega signala je, da so frekvenčne komponente signala, višje od \(f_s/2\), zrcaljene preko meje \(f_s/2\) in povzročajo t. i. frekvenčno prekrivanje. To povzroča anomalije v diskretno vzorčenem signalu.

Nyquistova frekvenca

Frekvenca \(f_N = f_s / 2\) je torej najvišja frekvenca v diskretiziranem signalu, ki jo pri izbrani \(f_s\) še lahko ustrezno predstavimo. Imenujemo jo tudi Nyquistova frekvenca.

Z izbiro hitrosti merjenja \(\Delta t = 1 / f_s\) torej določimo frekvenčno območje \([0, f_s / 2]\), ki ga v izmerjenem signalu lahko opazujemo.

Note

Pojav frekvenčnega prekrivanja je zanimivo opazovati na primeru digitalnih slik, kjer je neodvisna spremenljivka razdalja (višina, širina slike) in govorimo o prostorski frekvenci \(\upsilon\).

Naloga 1 (10 minut)

Za primer signala:

\(x(t) = X_1 \, \sin(2\pi \, f_1 \, t) + X_2 \, \cos(2\pi \, f_2 \, t)\)

simulirajte vzorčenje z vzorčno frekvenco \(f_s\), nato pa še z vzorčno frekvenco \(f_s / 2\).

Prikažite obe časovni vrsti, s pomočjo izrisa amplitudnih spektrov obeh signalov pa komentirajte pojav frekvenčnega prekrivanja.

Podatki:

fs = 100
f_1 = 3
f_2 = 30
X_1 = 2
X_2 = 1.5

Filtriranje za odpravo frekvenčnega nalaganja

Frekvenčno nalaganje merjenega signala lahko preprečimo z uporabo nizkopasovnega filtriranja (ang. anti-aliasing filter), ki mora biti izvedeno pred časovnim vzorčenjem signala.

Naloga 2 (10 minut)

Na zgornjem primeru signala \(x(t)\) prikažimo uporabo anti-aliasing filtriranja z uporabo scipy.signal.

from scipy import signal

Priprava digitalnega nizkoprepustnega filtra:

f_cutoff = 20
sos = signal.butter(3, f_cutoff, 'low', analog=False, fs=fs, output='sos')
w, h = signal.sosfreqz(sos, freq, whole=False, fs=fs)

Show code cell source Hide code cell source

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(freq, 20*np.log10(np.abs(h)), c='k')
ax.axvline(f_cutoff, c='k')
ax.set_ylim(-60, 3)
ax2 = ax.twinx()
ax2.plot(freq, np.abs(X))
ax.set_xlabel('f [Hz]')
ax.set_ylabel('h(f) [dB]')
ax2.set_ylabel('X(f)');

Filtriranje signala

x_filtered = signal.sosfilt(sos, x)
x_f_2 = x_filtered[::2]

X_f = np.fft.rfft(x_filtered) / len(x_filtered)
X_f[1:] *= 2

X_f_2 = np.fft.rfft(x_f_2) / len(x_f_2)
X_f_2[1:] *= 2

Show code cell source Hide code cell source

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(freq, 20*np.log10(np.abs(h)), c='k')
ax.axvline(f_cutoff, c='k')
ax.set_ylim(-60, 3)
ax2 = ax.twinx()
ax2.plot(freq, np.abs(X), label='$f_s$')
ax2.plot(freq, np.abs(X_f), label='$f_s, filter$')
ax2.plot(freq_2, np.abs(X_f_2), label='$f_s/2, filter$')
ax2.axvline(x=fs_2 / 2, c='k', ls='--')
ax.set_xlabel('f [Hz]')
ax.set_ylabel('h(f) [dB]')
ax2.set_ylabel('X(f)')
ax2.legend();

Kvantizacija

Kvantizacija je postopek diskretizacije odvisne spremenljivke zveznega procesa \(x(t)\).

Glavni parameter časovnega vzorčenja je število diskretnih nivojev, ki jih odvisna spremenljivka pri procesu kvantizacije lahko zavzame, ki določa dinamični razpon (globino) procesa. Običajno je podano s številom bitov \(b\) AD pretvornika. Prav tako je pri tem pomembno območje kvantizacije \(A = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}\), ki določa interval možnih vrednosti neodvisne spremenljivke \(x \in [x_{\text{min}}, x_{\text{max}}]\).

Število diskretnih vrednosti kvantiziranega signala je:

\[N = 2^b\]

Napako kvantizacije lahko modeliramo kot naključni šum normalne porazdelitve s standardno deviacijo:

\[\sigma_e = \frac{A/2^b}{\sqrt{12}}\]

Dinamični razpon meritve je določen z razmerjem med koristnim signalom in šumom (napako kvantizacije), SNR (Signal-Nosie Ratio):

\[SNR = 10 \, \log_{10} \, \frac{\sigma_x^2}{\sigma_e^2} = 20 \, \log_{10} \, \frac{\sigma_x}{\sigma_e} \approx 6\,b - 1.25 dB \]

(ob predpostavki \(\sigma_x = A/4\), da ne dosežemo mej dovoljenega intervala neodvisne spremenljivke).

Naloga 3 (10 minut)

Na primeru signala \(x(t)\) iz naloge 1 simulirajmo vpliv kvantizacije signala s parametri:

\(x \in [-20, 20]\\\) \(b = 6\)

adc_range = [-20, 20]
A = np.max(adc_range) - np.min(adc_range) 
b = 6
std_e = (A/2**b) / np.sqrt(12)
std_x = A/4

SN = 10 * np.log10(std_x**2 / std_e**2)
SN

34.874212113594744

6*b - 1.25

34.75

def kvantizacija(x, bits=4, adc_range=(-20, 20)):
    """
    Kvantizacija signala `x` z izbranimi parametri (s predavanj).
    """
    x2 = x.copy()
    lo, hi = adc_range
    x2[x<=lo] = lo
    x2[x>=hi] = hi
    delta = (hi - lo) / (2**(bits)-1)
    qnt = lo + delta*np.floor((x2 - lo) / delta)
    return qnt

Kvantiziran signal

x_kvantiziran = kvantizacija(x, b, adc_range)

Signal s šumom

x_šum = x + np.random.randn(len(x))*std_e

Show code cell source Hide code cell source

plt.plot(t, x, label='x(t)')
plt.plot(t, x_šum, label='šum')
plt.plot(t, x_kvantiziran, '.-', label='po kvantizaciji')
plt.xlabel('t [s]')
plt.ylabel('x(t)')
plt.legend();

X_k = np.fft.rfft(x_kvantiziran) / len(x_kvantiziran) 
X_k[1:] *= 2

X_šum = np.fft.rfft(x_šum) / len(x_šum) 
X_šum[1:] *= 2

Show code cell source Hide code cell source

plt.plot(freq, np.abs(X), label='X(f)')
plt.plot(freq, np.abs(X_šum), label='šum')
plt.plot(freq, np.abs(X_k), label='po kvantizaciji')
plt.xlabel('f [Hz]')
plt.ylabel('X(f)')
plt.legend();

Show code cell source Hide code cell source

plt.semilogy(freq, np.abs(X), label='X(f)')
plt.semilogy(freq, np.abs(X_šum), label='šum')
plt.semilogy(freq, np.abs(X_k), label='po kvantizaciji')
plt.xlabel('f [Hz]')
plt.ylabel('X(f)')
plt.legend();